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|たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。
指針>2直線0, ② の交点を通る直線の方程式として,次の方程式③を考える。
CHART 2直線f=0, g=0の交点を通る直線 kf+g=0を利用
2直線の交点を通る直線
の
127
基本 例題79
もたず
の, 2x-y+130
2直線x+y-4=0
のの交点を通り、,次の条件を満
項国, 国)
(1)点(-1, 2) を通る
(2) 直線x+2y+2=0 に平行
基本 78
3章
k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数)
13
意。
(2)平行条件ab2-azbi30 を利用するために, ③ をx, yについて整理する。
『Pn
か、平行
解答
kは定数とする。方程式
の&(x+y-4)+2x-y+1=0
2直線の, 2の交点を通る直線を表す。
(1) 直線3が点(-1, 2) を通るから
-3k-3=0 すなわち k=-1
これを3に代入して
ー(x+y-4)+2x-y+1=0
a
別解として,2直線の交点の
座標を求める方法もあるが,
左の解法は今後, 重要な手法
となる(b.160 基本例題 104
参照)。
き
3は、
4
1
2
利用し
4
x
0
検討
2
て考
与えられた2直線は平行でな
いことがすぐにわかるから,
確かに交わる。しかし,交わ
るかどうかが不明である2直
線f=0, g=0 の場合,
kf+g=0 の形から求めるに
すなわち
x-2y+5=0
(2) 3をx, yについて整理して
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
二満た
しない。
直線3が直線x+2y+2=0 に平行であるための条件は
(k+2)-2-(k-1)·130
は,2直線が交わる条件も必
ず求めておかなければならな
よって
k=-5
-5(x+y-4)+2x-y+1=0
これを3に代入して
x+2y-7=0
い。
すなわち
参考 3の表す図形が, [1] 2直線 ①, ② の交点を通る [2] 直線である ことを示す。
[1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。その交点(xo, yo) は, xo+yo-4=0,
2xo-0+1=0 を同時に満たすから, kの値に関係なく, k(xo+yo=4)+2xo-yo+1=0 が成り
立ち,3は2直線 ①, ② の交点を通る。
[2] をx, yについて整理すると
k+2=0, k-1=0を同時に満たすんの値は存在しないから, ③は直線である。
なお, 3は, kの値を変えることで, 2直線 ①, ② の交点を通るいろいろな直線を表すが, ①だ
けは表さない。
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
TI株 O意1 dT > 関
こるる
2直線x+5y-7=0, 2x-y-4=0の交点を通り, 次の条件を満たす直線の方程式
79 を,それぞれ求めよ。
(1) 点(-3, 5)を通る
練習
(1)垂直
(2) 直線x+4yー6=0に(ア) 平行
直線の方程式、2直線の関係
う
