基本 例題 36
図形と漸化式 (2)
右の図において, XOY=30°, OA1=2,
OB=√3 とする。 ∠XOYの2辺OX,
・・・および点
OY上にそれぞれ点 A2, A3,
......
B2, B3, ･･を, 「B1A2, B2A3, B3A4,
......
はすべてOX に垂直でありA2B2, A3B3,
はすべてOY に垂直」 であるようにとる。
130°
0
B
B,
00000
A4 A3
A2
△ABAn+1の面積を α とするとき, 数列{an} の,初項から第n項までの和
を求めよ。
CHART & SOLUTION
前ページの例題と同様に, αn と αn+1 の関係について考える。
基本 29.35
△AB+1 A+2∽△ABnAn+1, 「相似な図形の面積比は,相似比の2乗に等しい」を利用
する。
解答
△A1BB+1, △BnAnAn+1 はともに, 3つの内角が30%
60° 90° であるから
√3
√3
An+1 Bn+1
-An+1Bn, An+1Bn=
AnBn
2
2
よって
1√3
2
3
An+1 Bn+1=
2
AnBr=AnBn
4
△An+1Bn+1 An+2∽△AnBnAn+1 であるから
B.
an+1=
-(3) an- 16 an
9
B+1
また, a1= 1/12A,A2A2B1=1.1.13_13
11√3-√3
130°
0
より、数列
A+2 A1 A2
22 2
8
√3
{an}
(an)は初項 公比の等比数列であるから,求める和は
8
An+1 B7+1= =4A,Bから、
3
Am
相似比は
PRACTICE
√3
8
16
(1)}
9
16
2/31 (1)
-
16
:1
ゆえに、面積比は
:12
