仕範囲
2次方程式x-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、 定数の値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 &
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 △
1
小学
指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1> 0 かつ β-1>0
(2)
1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 α-3とβ-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説) もある。これについては, 解答副文の別解 参照。
3460000
解答
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα, βとし、判別式
をDとする。
解と係数の関係から
(1) α>1,β>1であるための条件は
(8+6)8-20
D≧0かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(β−1) > 0
D≧0から
よって
(p+1)(p-2) ≥0
p≤-1, 2≤p
(a-1)+(β−1)> 0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0
よって
2
p>1.
SUP
(α−1)(B−1)>0 すなわち αβ-(α+β) +1>0 から
p+2-2p+1>0
すなわち
ゆえに
f(x)=x2-2px+p+2の
グラフを利用する｡
$ (820) 8
=(-p)²-(p+2)=p²-p-2=(p+1)(p−2)|(1) =(p+1)(p-2) 20,
D
軸についてx=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
YA
a+β=2p,aβ=p+2
よって
よって
<3
3
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
③の共通範囲をとって
......
11
p> 1 1
p.81 基本事項 [2]
別解 2次関数
1 2 3 p
3-p
4
0 1
x=p_y=f(x)
a P
-B
2≦<3
(2) α<β とすると,α <3 <β であるための条件は題意から、α=B1
ない。
1
(a-3)(8-3)<0
aß-3(a+B)+9<0
p+2-3-2p+9<0
20
(2) f(3)=11-5p<0
118
r2=0が次の条件を満たす解をもつように
