女
9 実数 α が α=5を満たすとき, 次の問いに答えよ。
(1) αは有理数でないことを示せ。
(2) すべての有理数pgに対して、a2+ pa+q=0であることを示せ。
(1)5点 (2)7点 , 計12点)
(解説)
(1)α が有理数であると仮定すると, α=- (m,nは自然数、mとnの最大公約数は 1 )
と表される。
=5であるから (7) =!
m\3
=5
m
よって m²=5n3
ゆえに,は5の倍数であり,も5の倍数である。
したがって, m=5k(kは自然数)と表され, ① から
(5k)³=5n³
ゆえにn3=52k3
n
よっては5の倍数であり、nも5の倍数である。
これはとの最大公約数が1であることに矛盾する。
したがって, α は有理数でない。
(2) ある有理数p, g に対して, α 2 + pa+g=0 となると仮定する。
α2=-pa-gであるから
5=03=αα°=α(-pa-g) = -pa²-ga
(p²-q)a+pq=5
=-p-pa-g)-ga=(p-g)a+pg
よって
[1] p-g=0のとき
②からα= 5-2となり,αは有理数であるが,これは (1) に矛盾する。
p²-q
[2] pq=0のとき
②から pq=5
は有理数であるが,これは (1) に矛盾する。
[1], [2] から,すべての有理数 p q に対して, a2+px+q≠0である。
これにg=p2 を代入すると=5
