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演習 例題153 微分係数の定義を利用した極限 (2)
O00
イう1回
(1) 次の極限値を求めよ。 ただし,αは定数とする。
2*-1
xsinx-asine
lim
(ア) lim
x
x→0
sin(x-a)
x→
a
e*-1
=1(p.257 参照) であることを用いて,極限値lim
(2) lim
→0
x
h→0
h
を求めよ。
((2) 法政大)
演習 152
f(x)-f(a)
を利用して変形するため, (ア)では
指針> (1) 微分係数の定義 f'(a)=lim
ズ→a
x-a
f(x)=2*, (イ) では f(x)=xsinxとして進める。
極限値はf(■)を含む式になるから,f(x) を具体的に計算してそれを利用。
e-1
(ただし,h→0のとき●→0)の形を作り出す。
解答
(1)(ア) f(x)=2* とすると
2*-1
2*-2°
f(x)-f(0)
lim
=lim
=f(0)
=lim
x→0
x
メー0 x-0
x→0
x-0
f(x)=2*log2 であるから
f(0)=2°1og2=1og2
2*-1
lim
x
=log2
したがって
x→0
(イ) f(x)=xsinxとすると
xsinx-αsina
lim
xsinx-asina
f(x)-f(a)
x-Q
=lim-
X→a..
=f(a)-1=f'(a)
sin(x-a)
sin(x-a)
=lim
ズ→a
--X-Q
ズ→a
x-Q
sin
また lim
=1
f(x)=sinx+x cosx であるから
(与式)=sina+acosα
(uv)'=U'v+ud
Teh'+i
=lim{ehi+1.
-lim(2eh*+1,e2h_1
2h
っ(h+1)",
e2h
-1
(2) lim
Aeni+2h+1-e+1==ei+!(eh_
h→0
h
h→0
h
h→0
っ2h
-1
=2e·1=2e
2h
=2limeh'+1.1lim
lim-1-1
h→0
h→0
注意
e*-1
=1 は, 特に断りがなくても公式として利用してよい。
lim
x→0
x
sinx
lim
=1. lim(1+x)==e, lim 1+-=e, lim
e*-1
=1
x
x→0
x
x→0
x
これらの極限の式はしっかり覚えておきたい。
次の極限値を求めよ。ただし, aは定数とする。
153
練習
[(2) 類東京理科
32x-1
(2) lim logx
x→1 X-1
1
x*
(3) lim-log (a>0)
x→0
x
(4) lim
ex-e-x
eatx-e"
(5) lim
(p.263 EX124, 12-
x→0
x
x→0
x
