基本例 43 つの集合の要素の個数
B, C で表し, 集合Aの要素の個数をn (A) で表すと, 次の通りであった。
100人のうち, A 市, B市, C 市に行ったことのある人の集合を,それぞれA,
(C)=30, n(A∩C)=9,
n(ANBNC)=28
n(A)=50,
n(B)=13,
n(A∩B∩C)=3,
n (B∩C)=10,
/p.333 基本事項 5 重要!
(1) A市とB市に行ったことのある人は何人か。
(2) A市だけに行ったことのある人は何人か。
①集合の問題図をかく 集合が3つになるが, 2つの集合の場合と基本は同
指針
まず、 解答の図のように, 3つの集合の図をかき, わかっている人数を書き込む。
また、3つの集合の場合, 個数定理は次のようになる。
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(ANB)-n(BOC)-n(CNA)+n(ANB
-U(100).
全体集合をUとすると
A(50)
n(U)=100
JANBNC
(28)
また
n (AUBUC)
図から,ド・モ
法則
=n(U)-n(ANBNC)
A∩B∩C=A
B(13)
=100-28=72
C(30)
が成り立つこと
(1) A市とB市に行ったことの
ある人の集合は A∩Bである。
1
n (AUBUC) =n(A)+n(B)+n(C)-n (A∩B)
3つの集合の個
-n(BNC)-n(CNA)+n(ANBNC)
に代入すると 72=50+13+30-n (A∩B) -10-9+3
したがって n(A∩B)=5
300 £11
よって, A市B市に行ったことのある人は 5人
(2) A 市だけに行ったことのある人の集合は ANBNC
である。
ゆえに n (ANBNC)
=n(AUBUC)-n (BUC)
=n(AUBUC)-{n(B)+n(C)-n(B∩C)}
=72-(13+30-10)=39
よって, A市だけに行ったことのある人は
39 人
ANBNC
(2) -U-
B
別解 (2) 求
n(A)-n(A
- n(ANC)
+n(ANB
=50-5-9+
よって 39
