2
重要 例
直 19 塗り分けの問題 (2)
円順列・じゅず順列
00000
立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように,色を塗りたい。 ただし,
方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
(2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
指針 「回転させて一致するものは同じ」と考えるときは,
特定のものを固定して、他のものの配列を考える
(1) 上面に1つの色を固定し, 残り5面の塗り方
を考える。 まず, 下面に塗る色を決めると, 側面
の塗り方は 円順列を利用して求められる。
(2)5色の場合、 同じ色の面が2つある。 その色で
上面と下面を塗る。 そして, 側面の塗り方を考
えるが, 上面と下面は同色であるから,下の解答
のようにじゅず順列 を利用することになる。
基本17 重要 31
(1)1色で固定 展開図(上面を除く)
->
下面
異なる色
側面は円順列
(2)
同色で固定
CHART 回転体の面の塗り分け1つの面を固定し円順列 かじゅず順列
(1)ある面を1つの色で塗り、それを上面に固定検討
解答
このとき、下面の色は残りの色で塗るから
5通り
そのおのおのについて, 側面の塗り方は異なる
4個の円順列で
(4-1)!=3!=6(通り)
よって 5×6=30 (通り)
(1)次の2つの塗り方は,例えば,
左の塗り方の上下をひっくり返
すと、右の塗り方と一致する。
このような一致を防ぐため、上
面に1色を固定している。
6
5
E