△ABCの外接円の中心を0とし、頂点A,B,Cの点Oを基点とする
位置ベクトルを,それぞれ a, , ことする. 位置ベクトル
五=a+b+c で表される点をH, △ABCの重心をGとするとき,次の
い問いに答えよ.
(1) 3点O, G, H は一直線上にあることを示せ.
(2) 点Hは△ABCの垂心であることを示せ。 bl
考え方
F
(1) 3点 0, G, H が一直線上にある OH =kOG の形で表せる
(2)Hは△ABCの垂心 A
⇒ AH⊥BC, BHICA
JAU 655
AH-BC=0, BH-CA=0 (+5)
また点は外接円の中心だから |a|=||=
300+€9,
解 (1) OH=a+b+c, OG=1/(1+6+2) より, OH=30G-OH-KOG の形で
3
Pas
つまりよって,3点O,G,Hは一直線上にある。C
別) GH-AH-AG=OB+OC-OG-OA)
J
-
3.635246=(OA+OB+OC)–OG
270G
[豚の大量よ「女」 =3OG-OG=20G
内職のよって, 3点O, G, Hは一直線上にある.
ocus
3053 515 MROJI
(2)点Oは△ABCの外心だから, |l=||=||
AH・BC=(OB+OC)・(OC-OB)
561020
RESO
BH･CA=(OA+OC) (OA-OC)
=(a + c)(a-c)
=(a+b)(a-g
550 lớp lớp =0 000 /// 5=dp
よって,
AH･BC=0
HO
B
OG: GH=1:2
AH-OH-OA,
OH = OA+OB+OC
より, SUGS
AH=OB+OC
OG=(a+b+c)
108005=3*57 (m)
A 線分が垂直(内積)=0 を利用
TH
F
G020 PX, Y)
BH=OH-OB
OH=OA+OB+OČ
7686=a²²-²=00(SCE 003
BH=OA+OC
よって、BH･CA=0
以上より, AH⊥BC, BHICA だから,点Hは△ABC AH≠0, BH0 とし
ても一般性を失わない
の垂心である.
DO
7
