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85 sin0, cos0 の2次式の最大·最小
戦問題
B8円
6, c
は正の定数とする。0S0<; の範囲で定義された2つの関数
T
2
の=(1-/3a)sin° 0 + 2asin@cos0 +(1+/3a)cos°0, g(0) = bsinc0+bについて
f(0)を a, sin20, cos20 を用いて表すと
{(0) = |ア」(sin20+Vイ]cos20) +ウ]
π
エオ|sin(20+
)+| キ]と変形できる。よって,f(0) は
カ
T
のとき最大値
ついて、
0=
クケ
コa+サ, 0=
T
のとき最小値口ス
シ
|aをとる。
セ
の a(0) の最小値が0であるとき,cの値の範囲は c2
である。
このとき,さらにf(0)と g(0) の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば
]+テコロ
小景を30
タ
3
ツ
b=
a=
チ
ナ
である。
章
解答
ぶす30… (Sgol+ 1DS 2 (x-9
2log5
(1) f(0)を変形すると」
0<-S 0<-8
りし、
10~
sin20
+2a
2
1-cos20
Key 1
f(0) = (1-/3a) 上
1+ cos20
*f(0) = (sin°0+cos'0)
2 20
-ol 8-2,
Key 2
=asin20 +/3 acos20 +1 = a(sin20 +/3 cos20)+1
+a·2sin0cos0
adpg
+/3a(cos'0- sin' 0)
と変形し,2倍角の公式
ol
π
+1
3
(×)ol=DS0! +&gol
62ols 2(x-9)2ol + (x8-8)2ol
= 2asin(26+
2sin0cos0 = sin20
0S0s号のとき,520+sxより一9(8-0)apl
ー元よりー9 (S-8)20
cos'0- sin°0= cos20
3
3
4log42
13
S sin( 20 + -)S1
(3-3り16
40を0 ー こ
る を代入してもよい。
(別 2
3
2e
六 の
1-1
(①) a
のとき 最小値1-/3a
a>0 より ー/3a+1< 2asin( 20 + -)+1S 2a+1
log
-1
よって,f(0) は
間 。
π
のとき 最大値 2a+1
12
π
π
20+
3
すなわち 0=
2
TZ
4
-π すなわち 0 =
3
π
π
20+
3
2
「6sine0+b=!
(2) g(0) = 0 のとき
|6>0 より
020の範囲で sincl == -1 となる最小の0の値6%は、+(81) =8
bsinc0
= ーb
6onc0=1-b
Sinc0:
sincl = -1
8+
=8+
b
3
3元
-π となり
2
bo
ニ
c>0 より,cl。
2c
boircO+b-0
π
2
よって,0S0<
の範囲で g(0)の最小値が0となるとき
2
Sinc@:0
3元
T
c>0 であるから,
f(0)と g(0)の最大値と最小値がそれぞれ一致するとき
2a+1= 26 かつ 1-/3a=0 -1) e,
- より
c23
2c
2
9(0) の最大値は
3
6=
3+2/3
-sin +1) = 26
π
これを解いて
10 本も
)
a=
3)
6
三角関数
82
