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基本例題106 約数の個数と総和
(①) 360
(2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
(3) 56の倍数で,正の約数の個数が15個である自然数nを求めよ。
p.468
指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。
自然数Nの素因数分解が N = pare…･････ となるとき
正の約数の個数は (a+1)(6+1)(c+1)......
EO (1+p+p²+...+pª)(1+g+q²+···+q°)(1+r+r²+··+²)
********
(1) 上のNが2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは
2°•g.xc...... (a≧1,b≧0,c≧0, ...;g,r, ··· は奇数の素数
1+ の部分がない。
【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
と表され,
その総和は (2+2²+...+2ª)(1+q+q²+…+q°)(1+r+r²+...+rº)...
を利用し, nの方程式を作る。
(2)
(3) 正の約数の個数 15 を積で表し, 指数となる a, b,
の値を決めるとよい。
15 を積で表すと, 151 53 であるから, nは15-11-1 または5-13-1 の形。
解答
(1) 360=2.32.5であるから,正の約数の個数は
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
00000
←p,g,r, ….. は素数。
14
pg're の正の約数の個数は (a+1) (6+1)(c+1) (p,q,r は素数
積の法則を利用しても求め
られる (p.309 参照)。
(2+22+2)(1+3+32)(1+5)=14・13･6=1092
(2) 12"=(22-3)"=22"• 3" であるから, 12" の正の約数が28個(ab)"=a"b", (q""=""
であるための条件は
(2n+1)(n+1)=28
このところを2mmとし
偶数は201
みである。
よって
2n²+3n-27=0 ゆえに
(n-3)(2n+9)=0
nは自然数であるから
n=3
(3)の正の約数の個数は 15 (=15・1=5･3) であるから,nは
か
pg²(p, g は異なる素数)
または
の形で表される。
nは56の倍数であり, 56=2.7であるから, nは²の形の場合は起こらない。
で表される。したがって, 求める自然数nは
n=24.72=784
たら誤り。
<p=2,g=7
15-1515-11-1
5･3から
D-13-1
(1) 756 の正の約数の個数と、正の約数のうち奇数であるものの総和を認めた
練習
2 106 (2) 正の約数の個数が3で,正の約数の総和が57 となる自然数nを求めよ。
(3) 300 以下の自然数のうち,正の約数が9個である数の個数を求めよ。
CP. 484 EXTO
指針
n
CH
解
√n²+
平方し
m, n
40の糸
また、
解は順
したが
検討
上の
1つ
答え
ま
の自
は,
例え
が決
ある
とい
ため、
しか
る。
一致
10
練習
107
