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〔2〕 正の実数aに関する次の三つの条件 Q, rを考える。
α は無理数である
1
g:a+
は無理数である。
9
a
r:2+1/2 は無理数である
なお,必要ならば,2,3が無理数であることを用いてもよい。
(1) 命題 「pg」 の反例であるものは
D
シ
である。
命題 「pr」 の反例でないものは
ス
である。
シ
の解答群
ス
と
の解答の順序は問わない。)
a=1
① a=√2
?a=
√3
③ a=1+√2
④ a=2+√2
⑤ a=2+√3
(2)はgであるための
ソ。
〔2〕 条件. Q.の否定をそれぞれ, Q. です。
(1)各選択肢のα.a+1,123の値は、次の表の通りである。
a
a'
0
1
√2
(有理数)(無理数)
√√3 1+√2
(無理数)
3√2
43
2
(無理数)(無理数)
2012の計算は、
3)
とよい。
2+√2
2+√3
(無理数)
a+1
2
a
(有理数)
4
(有理数)
2
10
3
6
(無理数)
15+62
(有理数)
(有理数)(有理数)
命題 「q」の反例は,かつ,すなわち
(有理数) 2
(無理数)
14
(有理数)
3 2√2 6+√2
(無理数)(無理数) (無理数)
a
「αが無理数 かつ a+ - が有理数」を満たすものである。
これを満たすのは⑤
命題 「pr」 の反例でないものは、 またはr. すなわち
「αが有理数または+1/3が無理数」を満たすものである。
これを満たすのは^⑩⑩ (または 0, 0)
(2) 命題 「rg」は真である。
(証明) 対偶」 が真であることを示す。
正の実数aに対して,a+1/2=x
=xが有理数であるとすると、
a'+1=(a+1)-2=x2-2 も有理数である。
(1+√2)+
(1+√
1+√2
=(2√2)^2=6
よって、 対偶 「!」 が真であるから,もとの命題 「r」も真である。
命題 「qr」は偽である。
(証明終)
(2+√√2)+(2+
(2+√2+1
2+√
19+6√22
15+6√2
(2+√3)+(
(2+√3+2+
-42-2=14
√2.
v23√2
2
2
は無理数であるが、
ソ の解答群
⑩ 必要条件であるが, 十分条件ではない
① 十分条件であるが, 必要条件ではない
(2) 必要十分条件である
必要条件でも十分条件でもない
(数学Ⅰ 数学A第1問は10ページに続く。)
L
D
(√2)+(v/zy=2+1/2=1/27は有理数であるから,a=√2 は反例である。
ゆえに は q であるための十分条件であるが, 必要条件ではない。(①)
(参考)表中の1+√2 2+√2, 2+√3 などが無理数であることは,√2
√3 が無理数であることを用いて証明することができる。
例えば、 1+√2 が無理数であることは、次のように証明できる。
(証明) 1+√2 が有理数であると仮定すると, 有理数xを用いて
1+√2=x と表される。
このとき √2=x-1
右辺のx-1は有理数であるが, 左辺の2は無理数であるから, 矛盾
する。
したがって, 1+√2 は無理数である。 (証明終)
