重要 21 等式を満たす多項式の決定
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多項式f(x) はすべての実数xについてf(x+1)-f(x) =2x を満たし,f(0)=1
であるという。 このとき, f(x) を求めよ。
(一橋大
基本15
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ
→f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+...... (a≠0, n≧1) とおいて
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
とで次数nと係数αを求める。
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
f(x)=1 | この場合は,(*)に含
f(x) =c(cは定数) とすると, f(0)=1から
解答 これはf(x+1)-f(x) =2x を満たさないから,不適。
よって,f(x)=ax+bx"-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす
0=1+v-xl
ると
f(x+1)-f(x)
1+x=4
=a(x+1)"+6(x+1)"-'+…………-(ax"+bxn-1+…………)
=anx-1+g(x)
ただし,g(x)は多項式で,次数は n-1より小さい
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから、最
高次の項を比較して
①から
れないため、別に考えて
いる。
(x+1)^
=x+nCixcm-1+nCzx-2.
のうち,
a(x+1)+1-ax"
次の項は anx-1で
りの頃は2次以
n-l=1 ・①, an=2. ②なる。
.......
xの次
係数を比較。
n=2
ゆえに、②から a=1
このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
c=1
またf(x+1)-f(x)=(x+1)2+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよ
よって
=2x+b+1
2.x+b+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
結果は同じ
b+1=0
係数比較法。
すなわち
b=-1
木ゴル
したがって
f(x)=x-x+1
