-
![]()
3章
13
複素数の極形式と乗法、除法
要例
96 複素数の極形式 (2)
偏角の範囲を考える ①①①①①
の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角0 は 0≦0 <2z とする。
-cosa+isina (0<a<л)
(2) sina+icosa (0≤a<2)
基本 95
既に極形式で表されているように見えるが, (cos+isin) の形ではないから極形
式ではない。 式の形に応じて 三角関数の公式を利用し, 極形式の形にする。
-
(1) 部の符号 - を + にする必要があるから, COS (π-0)=-cos0 を利用。 更に
虚部の偏角を実部の偏角に合わせるために, sin(π-0)=sin0 を利用する。
(2) 実部の sin を cos に, 虚部の COS を sin にする必要があるから
-0=sin0,
COS
2
(一)=
sin(0)= =cose を利用する。
2
また,本間では偏角 0 の範囲に指定があり, 0≦0 <2m を満たさなければならないこと
に注意。 特に(2)では, αの値によって場合分けが必要となる。
CHART 極形式 (cos+isin
(1) 絶対値は
解答
また
の形 三角関数の公式を利用
(-cosa)+(sinα)2=1
-cosa+isina=cos(π-a)+isin (π-α)
......
①
<a<πより,0<x-α <πであるから,①は求める極
形式である。
(2) 絶対値は
また
ここで
√(sina)²+(cosa)²=1
sina+icos a=cos(-a)+isin(-a)
≦a≦のとき,
2
る極形式は
2
であるから
cos(π-0)=-cost
sin(π-0)=sin0
515
偏角の条件を満たすかど
うか確認する。
cos(2-0)-sine
sin(-)-cos
o
-αであるから、求め <2から
--
π
3
って sina+icosa=cos
(7/7-a)+isin (7/7-α)
π
ゆえに, αの値の範囲に
2
よって場合分け
π
π
<<2のとき<<0
<α <2のとき, 偏
2
2
角が0以上 2 未満の範
各辺に2を加えると、
各辺に 2πを加えると,
12
on-a<2πであり
CO
COS
(-a)= cos(-a), 0x
sin(-a)-sin(-a)
-α=sin
囲に含まれていないから,
偏角に2を加えて調整
する。
なお
COS (+2nπ) =COS
3302TUCCIAsin(+2nx)=sin
よって、求める極形式は
5
sina+icosa=cos
ineticos (317-α)+isin (27-α)
で
[n は整数]
TP
