>0 620, cN0 のとき, 不等式 (3(a+b+c)2/a+5+lc が成り立つことを証明せ
エ式の証明
と、また,等号が成り立つのはどのようなときか。
O
【類東北学院大]
両辺を平方して差をとる
A20, B20のとき,A'2B’ → A2B であることを利用。
考え方
→ {/3(a+b+c)}-(/a+Vb6+c) を変形して 20を示す。
等号成立は,式変形の中の之を含む箇所に注目。
→ 実数x, y, zについて, x°+y°+z°=0 →x=y=z=0 であることを利用。
解答)
ポイント
1 平方して差をとる
両辺の平方の差を考えると
{(3(a+b+c)}-(Va+/5+Vc)
=3(a+b+c)-(a+b+c+2/ab+2、bc+2/ca)
S-(a-2/ab+6)+(b-2/bc+c)+(c-2,ca+a)
=(a-5°+(5-に8+(Wに-a)20
{/3(a+b+c)}{>(Wa+/5+Vc)°
V3(a+b+c)20, Va+/5+Vcz0 であるから
3(a+b+c)2a +V5+VG 8
等号が成り立つのは,(a=/b かつ 『6= かつ c=\a, すなわち、
G
20 を示す
よって
A°2B°→AWB
2 1でのとに注目
a=b=c のときである。
