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第3章
47 軌跡(V)
mを実数とする. ry 平面上の2直線
mx-y=0・・・①,
について、 次の問いに答えよ.
x+my-2m-20 ......
②
V (1) ①,②mの値にかかわらず,それぞれ定点 A, B を通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2) ①,②は直交することを示せ.
✓ (3) ①②の交点の軌跡を求めよ.
精講
(3) ①
(
(1) 「mの値にかかわらず」 とあるので,「m について整理」して
mについての恒等式と考えます. (37)
(2)②が 「y」 の形にできません. (36)
45 のマネをするとかなり大変です
②の交点の座標を求めて,
したがって,(1),(2)を利用することを考えます。このとき、45の
Ⅲを忘れてはいけません。
ことはないので (注) 点 (0, 2)は含まれない.
よって、 求める軌跡は
円 (x-1)+(y-1)2=2 から,点 (0, 2) を除いたもの、
77
BA
注 一般に,y=mx+n型直線は,軸と平行な直線は表せません。
それは,yの頭に文字がないので,m, nにどんな数値を代入しても
参考
が必ず残って、x=k の形にできないからです。逆に、 の頭には文
字がついているので, m=0 を代入すれば,y=nという形にでき、
軸に平行な直線を表すことができます。
45 の要領で ①,②の交点を求めてみると,
2 (1+m)
x=
1+m²y=
.2m(1+m)
1+m²
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. もしも誘導がなければ次のような解答ができます。 こ
れが普通の解答です。
- x≠0 のとき, ①よりm=
YA
で割りたいの
で x≠0. x=0
2
②に代入して+122y
-2=0
で場合分け
IC
IC
A(0, 0)
極める!!
これぞれの((1)の値にかかわらずmz-y=0が成りたつとき,r=y=0
定を
②より (y-2)m+(x-2)=0 だから
∴.B(2,2)
解答
..x2+y2-2y-2x=0 ... (x-1)+(y-1)2=2
次に, x=0 のとき,①より,y=0
O
これを②に代入すると,m=-1となり実数が存在するので、
点 (0, 0) は適する.
mについて整理
以上のことより, ①,②の交点の軌跡は円 (x-1)^+(y-1)2=2から点
(0, 2)を除いたもの.
(2) m・1+(-1).m=0 だから,
36
①,②は直交する.
ポイント
(3) (1) (2)より ① ② の交点をPとすると ①②
Y
定点を通る2直線が直交しているとき,その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
より, ∠APB=90°
2
B
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある.この円の中
心は ABの中点で (11)
演習問題 47
0
A/
2 x
また, AB=2√2 より 半径は2
よって,(x-1)+(y-1)²=2
ここで,①はy軸と一致することはなく, ②は直線 y=2と一致する
tを実数とする. xy 平面上の2直線 l : tx-y=t,
m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ.
(1) tの値にかかわらず, 1, mはそれぞれ, 定点A, B を通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2), mの交点Pの軌跡を求めよ.
