問題
3 変数への
拡張
(S)
29|a|<1,|6|<1, |c|<1 のとき,次の不等式を証明せよ。
(1) ab+1>a+b
(2) abc+2>a+b+c
ポイント④ (2) は,(1)を3文字の場合に拡張した不等式。
本問では,(1)を利用して, (2) を導くことができる。
|a|<1, |6|<1から a-1<0, b-1<0
解説
29 (1) ab+1-(a + b) = (b − 1) a − (b −1)
=(a-1)(6-1)
よって
(a-1)(6-1)>0
すなわち
ab+1-(a+b)>0
(2)|a|<1,|6|<1から
abc +1 > ab+c
|ab|<1
また |c|<1
したがって ab+1>a + b
よって, (1) から abc+1 > ab + c
すなわち
①
|a|<1, |6|<1 から, (1) により ab+1>a + b
① ② の辺々を加えて
したがって
abc+ab+2>ab+a+b+c
abc +2 >a+b+c
AS
←|a|<1⇔1<a<1
||<1⇔-1<b<1
←
(1)の不等式を利用
