図形と式を中心にして
41 原点が中心の円の接線
座標平面上に、2つの円C:x2+y²=1, C2: (x-5)+y°=16がある
(島根)
2つの円 C1, C2 の共通接線をすべて求めよ.
(解答)
<解答1: 最初に C, の接線を設定する >
C上の点 (a, b) における C の接線は、
ax+by=1
(a,b) は C 上の点であるから、
a2+62=1
が成り立っている.
このとき, Cの接線 ① が C2 にも接する条件は、
15a-11
40 を見直そう
√a² +6²
であり,分母に②を用いて整理すると,
|5a-1|=4
-=4
5a-1=4, -4
5a=5, -3
... ax+by-1=0
以上より, C,C2の共通接線は,
APOT APQT 2 であり,
cを正の定数とすると
|x|=c⇔ x=c, -e
3
:. a=1,
である. これより、
PO:PQ=OT1 : QT2=1:4
…①
P
-1/23 1/13y-1=0 すなわち3x干4y+5=0
となり, 0Q5なので,
PO:0Q=1:3
T1
y
a=1のとき,②より6=0である. このとき, ①より, 接線はx=1である.
=1/3のとき②よりb=土 1 である。このとき,より,接線は,
O
x=1,3x-4y+5=0,3x+4y+5=0
<解答2:x=1以外の2本の接線はx軸上で交わることに注目する >
解答1の図より、x=1は共通接線になっている。
右図のように, T1,T2, P, Q を定めると,
1
T2
T1
Q
5
T.
よって、
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文系
