第8章
801 正の整数で割った余りによる整数の分類
任意の整数nに対して,n-rは72で割り切れることを示せ。
|精講
(京都大*)
7298 で, 9と8は互いに素ですから、ある整数が72で割
り切れることを示すには, Nが9の倍数であり,かつ,8の倍数
であることを示すとよいのです。
n-㎡が9の倍数であることを示すためには,nを3で割ったときの余りで
場合分けをして,8の倍数であることについてはnを2で割った余りで、つま
り,nの偶奇で場合分けをして調べることになります。そこで、次のことを確
認しておきましょう。
を正の整数とするとき,整数nをで割った余りはあ
ころひょうたう。で
のいずれかであるから, n は整数mを用いて
01, 2,..., p-1
うんと同じ
PU
のいずれかで表される。
pm, pm+1, pm+2, ······, pm+(p−1)
3m,3m+1,3m+2 (mは整数)
たとえば,3で割った余りで分類すると, すべての整数は
のいずれかで表されますが, 3m+2=3(m+1)-1 ですから, すべての整数は
3m,3m±1mは整数)
のいずれかで表されると考えることもできます。 問題処理においては,Aより
もBの方が見かけ上の場合分けが少なくてすむ利点があります。
<解答
まず,
N=n³-n³=n³(n³-1)(n³+1)
として,Nが9の倍数であることをn=3m,3m±1
( は整数)の場合に分けて示す。 ① において,
n=3m のとき
n³=(3m)³=27m³
n=3m+1のとき
n-1=(3m+1)3-1=9(3m²+3m²+m)
なぜかタイ
いけない
参考 1参照。
