基礎問
184
121 Σ記号を用いた和の計算(Ⅳ)
一般項が an=n.2"-1 (n=1, 2, 3, ...) と表される数列{ an
について S=a+a2+... +an とおく. このとき, S-2Sを計算
することによってSを求めよ.
精講
一般項が,(nの1次式)xy"+c (r≠1) という形をしている数列の
和の求め方は2つあります。
I. S-rs を計算すると, 等比数列の和になって, Sを求めることができる
rは,n+c が等比数列で,その公比になります。(
II. 120の
f(h)-f(k+1) (f(k+1)-f(k) でもよい)
の形に変形する
解答でI を,(別解) で II を学びましょう.
解答
1・2'+2・22+…+(n-1)2"-1+n.2n
S=1・1+2・2'+3•2°+…+p.n
2S=
: S-2S=1+2+2+... +21-n・2n
:.'S=n.2"-(1+2+2+…+2"-1)
(別解)
2n-1
=n.2".
2-1
=(n-1)2+1
