座標平面上において, 点を座標で表し、 図形を方程式で表すことを学んだ。
ここでは、このことを図形の性質の証明に利用することを考える。
考察
△ABC の辺BCの中点をMとすると
3-1
AB+ AC = 2 (AM2+BM2)
2) k²
2
が成り立つことを,どのようにしたら証明できるだろうか。
真さん: 辺 AB の長さを 2 点 A, B間の距離と
14 Leve
5
みて, 座標を利用して考えられないかな。
悠さん: 右のような三角形ABC に対して座標
軸をどのように設定したらよいのかな。
B
M
C
10
座標を利用して考えると,次のように証明できる。
点Mが原点,辺BCがx軸上になるよ
y
(ab)
A(a,b)
うに座標軸を設定すると, △ABCの頂
点 A, B, C の座標は, それぞれ
A(a, b), B(-c, 0),C(c, 0)
0=(1+-+-
5 とおくことができる。 このとき
#
AB2 + AC2
DB(-c, 0)
M(0,0) C(c, 0)
=
={(a+c)+62}+{(a-c)+62}
(a,d)
= 2(a²+b²+c²)
Ac
2(AM²+BM²) = 2 {(a² + b²)+c²} = 2(a²+b² + c²)
したがって AB2 + AC2 = 2 (AM2+BM2)
#問15 上の説明では, どのような工夫をして座標軸を設定しているか。 頂点
C の座標をA(a, b), B(c, d), C(e, f) とおいた場合の証明を想定
説明せよ。
図形の性質を証明するには、座標を用いて次のようにするとよい。
1 座標軸を適当に設定し、 図形の関係を数式で表す。
2 得られた数式を用いて計算する。
3 計算結果を図形的に解釈する。
1
賀
