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11 2 変数関数等式の条件がない場合,ある場合
(ア) (1)
エリの関数P='+3 +4 - 6y+2の最小値を求めよ. また,そのときのェリの値
を示せ.
2)0x3.0Sys3のとき (1) の関数Pの最大値および最小値を求めよ. また,それぞれ
の場合のェyの値を示せ.
(3)エリの関数Q6ry +10g²-2x+2y+2の最小値を求めよ. また,そのときのエリ
の値を示せ.
( 豊橋技科大)
である.
x+y=1, r200のとき、2y2の最小値は [
最大値は
(関西大理工系,改題)
の2次の2変数関数
変数が2個以上あっても、等式の条件などなくてそれぞれ独立に(無関
に) 動けるとき,平方完成によって2次式で表された関数の最大・最小値を求めることができる.具
体的には、の2次式があるとき、まずその2次式をェの式と考えて (yは定数と見なす) 整理し,
平方完成する。 すると定数項はェを含まない」の式(2次式)で、それをリについて平方完成する。
等式の条件 1次の等式の条件が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するのが原
則的な手法である。 (イ)の場合、等式の条件からェをで表すことができる. この際
(イ)☆消去される文字ェについている条件(20) に反映させるこのc
ことを忘れないように,結局, (イ)は見かけは2変数関数であるが、実質的には1変数関数にすぎない。
解答() () ()のお
=02121
23-00
p-table
まずェについて整理
⇒因に?ちがうする
(ア) (1) P=x2 +4 +3y2-6y+2
=(x+2)2+3g2-6y-2=(x+2)243(y-193-5
これはx=-2,g=1のとき最小値5をとる
Pa
(2) ① は, x+2」が大きいほど, y-1が大きいほど大きい。よって
3
y=3のとき最大となり, 最大値は
3のとき,①はx=3,
52+3・22-5=32である. また, x=0 y=1のとき最小となり,最小値は
2-5=-1である。
(3) Q=2-2(3y+1)x+10y2+2y+2
=(x-(3y+1))-(3y+1)²+10y²+2y+2
0
={z-(3y+1))2+y2-4y+1={(3y+1)+(y-2)2-3
y-2=0 かつェ= 3y +1, すなわち,y=2,x=7のときに最小値-3をとる
(イ)x+y=1により,r=1-yx20,420により,Osysl
x-2y2=1-g-2y=-2(y+1+1/
これは①のとき,y=1で最小値1-1-2=-2,y=0で最大値1をとる.
11 演習題(解答は p.59)
まずェについて整理
①ェを消去した方が、少しラク.
1-g-2y2に代入.
w
実数x, y, zの間にx+2y+3z=7という関係があるとき,+y'+2の最小値
と、そのときのエリ, zの値を求めよ.
(早大 人間科学)
(イ) (1) +2y=10のとき,'+y2の最小値とそのときのx、yの値を求めよ。
(2) g (x)=15-50 とする. +2y=100,120 のとき,
2g(x)+g(x)の最大値、最小値とそのときのz,yの値を求めよ.
44
条件
しっかり
(尾道大)
(ア)(イ)とも1文字消去
をする。
