前題の対側は
りば
(1) 命題: x≧1 かつ y≧1 ならば, x+y≧2 について
裏対側を述べ, その真偽を調べよ.
(2) 命題キェならばェキ1 が正しいことを対偶を用いて証
明せよ。
(3) 「2が無理数であることを背理法を用いて示せ.
よって, 与えられた命題 「エキェならばェキ1」 は真.
注 対偶を用いて証明する場合は, たいてい 「キ」, 「また
••••••に対して」 という表現が含まれています。
くまず、
(3) √2 が有理数と仮定すると.
2つの自然数m, n を用いて, √2
2=- と表せる.
n
m
精講
(1) (2) ある命題が正しいことを真 (true), 間違っていることを偽
(false) といいます. また, 次表のような関係にある命題を, それ
ぞれ、 元の命題の逆・裏・対偶といいます(→は「ならば」を意
味します).
逆
有理数の定義
g→p
裏
対偶
裏
(ただし, m n は互いに素)
両辺を平方すると
最大の
左辺は偶数だからも偶数。 すなわち, nも偶数。
このときは4の倍数だから,2m² も4の倍数.
よって, m² は偶数となり, mも偶数.
ゆえに, m とnは共通の約数2をもつことになり、
2つの整数 min(nto)を用いて
分数の形で表される数
mとnが互いに素であることに矛盾する.
よって, 2 は有理数ではない。
すなわち,2は無理数
