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TCO
基本例題165 不等式の証明 (1)
(大阪エ大
x
(2) x>0 のとき, log(1+x)<xーラ+が成り立つことを証明
p.261 基本事項」
e
(1) x>0 のとき, Ilogx< が成り立つことを証明せよ。
x°」x3
3
即 れ士
(2)x>0 のとき,log(1+x)<x-
[昭和大)
示10く小()
で 察
大小比較差を作る 大考不さす困
CHARTOSOLUTION
不等式の証明
{f(x)-g(x) の最小値}>0 を示す
2 常に増加ならば出発点で >0
f(x)=(右辺)-(左辺) とおき, x>0 における f(x) の増減を調べ,f(x)20
などを示す。(2)では常にf'(x)>0 であるから, 図の方針で示す。
解答
1
f(x)=
x-e
の(1) f(x)=-log.x とすると
x)= (右辺)- (左辺)
Jなとする。
e
x
ex
x>0 のとき,f'(x)=0 とする
x
0
e
と
x=e
ソ=
f(x)
f(x)の増減表は右のようになり,
x=e で最小値0をとる。
よって,x>0 のとき
許共
3(x)(x)20
f(x)
極小
0
e
X
ソーlogr
(-(x)で
すなわち
logxs
e
介 (最小値)20
回(2) x)=(x-号+)
-log (1+x) とすると
3
142
f(x)=1-x+x°- =+x)(1-x+x°)-1
1+x
f(x)=1+x°-1
1+x
1+x
1+x
x>0 のとき
よって,f(x) は x三0 で増加する。
ゆえに, x>0 のとき
f(x)>0
なる 飲常な (x
x>0 から
x°>0, 1+x>0
注意 x>0 で考えている
1t3立0 が, f(x) は x=0 でも定事
されるから、f(0)=0 を用
いてよい。
f(x)>f(0)=0
したがって, x>0 のとき
log (1+x)<x-号+
2
3
