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重要 例題 40
f(n) an=b" とおく漸化式
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
an+1 =an
n+1
(1) a₁=1, n
bn=
CHART & THINKING
an+1, an の係数がnの式の問題では, an+1, an の係数がそれぞれ f(n+1), f(n)となる
ように式変形をする。
(1) 与えられた漸化式は, an の係数が-
n(n+1)を掛けることで
an+1=
am
(n+1)an+1=nan
72
n+1
an の係数が n, an+1 の係数が(n+1) となる。
(2) (1) と同じように, f(n+1)an+1=f(n)an+(nの式) の形にするには,両辺をどのよう
な式で割るとよいかを考えてみよう。
(2) 両辺を n(n+1) で割ると
答
(1) 両辺に n(n+1) を掛けると
bn=nan とおくと
bn+1 = bn
また, b=1.α=1から6=6n-1==b1=1
したがって 6=1
よって
an
n
とおくと
ゆえに
よって, n≧2のとき
bn+1-bn= 1 1
=
bn+1=bn+₁
n n+1
ゆえに bm=3-1/(1)
(n≧1)
n
(2) a1=2,nan+1=(n+1)an+1
1
n+1'
■RACTICE 400
IN
次の条件によって定められる数列{
an+1
n+1
(n+1)an+1=nan
an=
1
n(n+1)
an
n
an+1の係数が元となっている。 両辺に
On
n n
n(n+1)
n-1,
* = 6 + 2 ( + - = + =) = 2 + (1 - 1) = 3 - 1
1)
²+1)
k=1 k
n
n
b=2 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
よって an=nbn=3n-1
また b=q=2
基本 21 20
←bn+1=(n+1)an+1
10+60S-
←n(n+1)=0
bn+1=
an+1
n+1
1
1 1
n(n+1) n n+1
es
数列{bn+1- 6m} は,
列{bn} の階差数列。
