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基本例題 30 線分の垂直に関する証明
△ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。
(1) OA+O+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。
( 2 (1) の点Hに対して, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH20G
[類 山梨大〕
基本23
指針▷ (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点
ある。
AH+0, BC+0, BH+0, CẢ+00₫
A
AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0
であるから,内積を利用して,A((内積) = 0] を計算により示す。
O は △ABCの外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。
CHART 線分の垂直(内積) = 0 を利用
解答
(1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。
このとき,外心Oは辺BC, CA 上
にはない。
①
OH = OA+OB+OC から
AH-OH-OA=OB+OC
ゆえに AH･BC
= (OB+OC) (OC-OB)
= |oc|-|OB|³=0
同様にして
B
A
BH-CA=(OA+OC).(OA-OC)
= |OA|-|OC|³=0
また①から AH=OB+OC+0, BH=OA+OC+0
よって, AH = 0, BC=0, BH = 0, CA ≠ 0 であるから
AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
OA+OR+OC-120H から OH=3OG
OB
(2) OG=
3
3
ゆえにGH=OH-OG=2OG
よって, 3点 0, G, Hは一直線上にあり
GH=20G
!
基本 68
直角三角形のときは
∠C=90°とする。
このとき,外心は辺AB上
にある (辺ABの中点)。
IBCOC-OB (分割)
△ABCの外心 0
OA=OBOC (数学A)
検討
外心, 重心,垂心を通る
(この例題の直線OGH) を
オイラー線という。
ただし, 正三角形は除く。
(1) から
OA+OB+OC=OH
