4 an+1=an+f(n) 型の漸化式
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次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
CHART
GUIDE
a1=3, an+1=an+4n
an+1=an+f(n) 型の漸化式
階差数列 {an+1-α} を考える
漸化式を an+1-an=f(n) と変形し, 数列{a} の階差数列{b,} の一般項を求める。
n-1
n≧2 のとき,=a+by を利用して、数列{a} の一般項を求める。
k=1
2で求めたαがn=1 で成り立つかどうかの確認を忘れずに。
ant+1=an
an+1 -an
i
◆階差数列の一般項がすぐ
わかる。
405
1章
LO
5
漸
化式
前項から次の項を決めるための
an+1=an+4" から
よって,数列{az} の階差数列の一般項が 4” であるから
n-1
n≧2 のとき [an=a1+24=3+
k=1
4(4-1-1) 1+2-1+
4-1
n-1
k=1
n-1
444-1である
k=1
から,これは初項 4, 公
9+4・4-1-4
3
比4, 項数 n-1の等比
数列の和である。
4"+5
=
から
3
4¹+5
この式に n=1 を代入すると
===
a₁
=3
3
Ba a=
33 (0)
初項は α=3 であるから,この式はn=1のときにも成り立
つ。
4"+5
したがって,一般項は
an-
=
3
一般
◆初項は特別扱い
iant1=ant
蓋
an=a+(n-1)
ant1=xan
an=ara-i
