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《CAction 最大公約数と最小公倍数は, まず与えられた数を素因数分解せよ。
ォがともに自然数となるような最小の有理数xを求めよ、
;がすべて整数となるような最小の自然数 nを
55
35
x,
42
12
243
nを求めよ。
, 256
250
(mとnは互いに素, nキ0)
m
n
TI
(1)有理数xー→x=
m
が既約分数
n
条件の言い換え
AO
ム
35m
55m
と
42n
35m
がともに自然数
55m
条件 →
12x
12n
[m は 12 と 42 の公口数
ln は 35 と 55 の公
11
|数
n
=k とおくと n° = 250k ー
250
250k が平方数
このときのnは
どのような値か?
(例題225参照)
n°
=!とおくと = 256 → 256/ が立方数
256
=m とおくと n' = 243m
243
243m が4乗数
m
解(1) x =
(mとnは互いに素, nキ 0)とおくと
35 55
12*, 2×がともに
数であるから x)
これより,m, nt
に正と考えてよい。
n
35
-x =
12
35m
55
55m
12n
x=
42
42n
この2数がともに自然数となるとき, m は 12 と 42の正
の公倍数,n は35と 55 の正の公約数である。
よって, xが最小となるのは, mが12と 42 の最小公倍
数,nが35 と 55 の最大公約数となるときである。
12 = 2°.3, 42 =2·3·7 より
35 = 5·7, 55 =5·11 より
分子 mが小さいほど
た,分母nが大きい戦
xは小さくなる。
m= 2°.3·7 =84
n=5
したがって,求める有理数 x は
84
xミ
5
(2) 250 = 2·5°, 256 = 2°, 243 = 3° より,
n°は2-5° の倍数であるから, nは2·5° の倍数,
は2°の倍数であるから, nは 2° の倍数,
n*は3° の倍数であるから, nは3°の倍数である。
各数の分母を楽国
する。
イ=2-5'』
右辺が平方数となる。
自然数kを用いて
a=2-5-
これらを満たす最小の自然数 nは, 2·5°, 2°, 3' の最小
公倍数であるから
このとき,ポ=ド
より n=2-54
n= 2°.3°.5° = 1800
233 1 525
20に
思考のプロセス|
