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ともに整数で
並ぶから、
る。
いた
よび内部である。
(1) 領域は、右の図の赤く塗った三角形の周お
直線y=k (n-1, ......,
0) 上には,
0
(2n−2k+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
基本 16
(2n-2k+1)=(2n-2.0+1)
k=0
=n²+2n+1=(n+1)² (1)
n
+(-2k+2n+1)
=2n+1-2・1/23n(n+1)+(2n+1)n
y4
k=1
n.
0
n
=(n²+1)+(n²+1)Σ1−Σk²
x+2y=2n
k=1
y
n
n-1
線分x+2y=2n(0≦y≦n)
上の格子点(0, n), (2, n-1), ....*',
(2,0)の個数はn+1
4 (0, 0), (2n, 0), (2n, n),
06 (n+1) 個
(0, n) を頂点とする長方形の周お
よび内部にある格子点の個数は (2n+1)(n+1)
(対角線上の格子点の数)
ゆえに、求める格子点の個数をNとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1)
(*)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
よってN=1/12 ((2n+1)(n+1)+(n+1)=1/27(n+1)(2n+2)=(n+1)^(個)
(2)領域は,右の図の赤く塗った部分の周および内部であ
る。 直線x=k(k=0, 1,2,
YA
n-1, n) 上には,
²k2+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
Σ(n²−k²+1)=(n²-0²+1)+Σ(n²+1−k²)
==(n+1)(6(n²+1)-n(2n+1)}
=(n+1)(4n²−n+6) (13)
k
1
0
JU [+2+A01+³A01-
1 2
2n
=(n+1)+(n+1)-1/12n(n+1)(2n+1)
=(n+1)(n²+1)-1/1/n(n+1)(2n+1)
-y=-11/2x+n
(x-2n-2y)
2n-2k 2n-1
2n-21 2n
k=0 の値を別扱いした
-2Ek+
0
= -2.1/n(n+1)
Σk+(2n+1)Σ1
n²
n²-1
n²-2
k²
k=0
+(2n+1)(n+1)
でもよい。
(*) 長方形は,対角線で
2つの合同な三角形に分け
られる。よって
( 求める格子点の数) ×2
y=x2
k=1
391
0 1 R n
別解 長方形の周および内
部にある格子点の個数
(²+1)(n+1) から,領域
外の個数を引く。
ors
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
1章
x
3
PRACTICE 280
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。 ただし, nは自然数と
する。
(1) x20, y≥0, x+3y≤3n
種々の数列
