それにあたります。
(3) この等式を中線定理 (パップスの定理) といいます. この等式は、まず使
えるようになることが第1です. 使えるようになったら自力で証明すること
を考えることも大切です. また, 証明方法はこれ以外に, 三平方の定理を使
う方法()や数学Ⅱで学ぶ座標を使った方法, 数学Cで学ぶベクトル
を使う方法などがあります。
A
図中の線分 AM を中線といいますが,この線分AM を 2:1 に内分する
点Gを△ABCの重心といい(52) これから学ぶ数学II の 「図形と方程
「式」, 数学Cの 「ベクトル」 「複素数平面」 でも再び登場します.
解答
(1) △ABCに余弦定理を適用して
4a²+c²-b24a²+c²-b²
cos B=
2.2a.c
4ac
(2) ABM に余弦定理を適用して
参考
(証明)
(三
Ab
明し
AH=h, B
に下ろした垂
AB2=BH-
COSA=Btzi
.
260
また,
AB2=
AC2=(a-M
.. AC2=α
①+② より,
AM2=c2+α2-2cacos B=c2+02-
よって, AB2+AC2=2(AM2+BM2)
(3)a=BM,b=AC, c = AB だから, 2AM²=AC2+AB-2BM2
4a²+c²-6² b²+c²-2a²
B+C2-2a2
2
2
演習問題 81
AB=
点をMと
