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基本例題 129 2次方程式のとの大小 (2)
2次方程式 ax- (4+1)x-a-3=0が-1<x<0, 1<x<2の範囲にそれぞれ
いつの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。
指針 f(x)=ax²-(a+1)x-a-3(a≠0) として
グラフをイメージすると, 問題の条件を満
たすにはy=f(x)のグラフが右の図のよ
うになればよい。
すなわち f(-1) f(0) が異符号
[f(-1)ƒ(0) <0]
かつ
f (2) が異符号
f(1)
[f(1)ƒ(2)<0]
である。 αの連立不等式を解く。
f(0)=-a-3,
f(-1)f(0) <0から
f(1)=a・12-(α+1)・1-a-3=-a-4,
f(2)=a22-(a+1)・2-a-3=a-5
(a-2)(-a-3)<0
(a+3)(a-2)>0
ゆえに
よって
また、f(1)(2) 0から
a<-3, 2<a
f(x)=ax²-(a+1)x-a-3 とする。 ただし αキ 0
解答題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1<x<0,
1<x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち f(-1)f(0) <0かつf(1)(2)<0
ここで
......
(-a-4) (a-5) <0
ゆえに
(a+4)(a-5)>0
よって
a<-4,5<a
①,②の共通範囲を求めて
a<-4,5<a
これはα≠0 を満たす。
CHART 解の存在範囲 f(pf(g) <0ならgの間に解(交点あり
......
+
①
どうして
[a>0]
y=f(x)
652
38
注意 指針のグラフからわ
かるように, a>0(グラフ
f(-1)=a・(-1)-(a+1)・(-1)-a-3=a-2, が下に凸), a<0 (グラフ
が上に凸)いずれの場合も
|_ƒ(−1)ƒ(0) <0
f(1)ƒ(2) <0
が,題意を満たす条件であ
る。 よって, a>0のとき
a<0のときなどと場合分
けをして進める必要はない。
0 1
=<C< 5/2/₁
U
①
p.207 基本事項 2要130
148
-4-3
2x
[a<0]
ly=f(x)
振り返り 2
例題128, 129のよう
を「解の存在範囲」
この解の存在範囲の
■ 2次方程式であるから、
( x 2の係数) 0 に注意
12 ad
AB
of
● 「方程式の実数解
「方程式f(x)=0+
<x<gの範囲に
囲の問題は,例題
4.5m
③ 129 1つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。日
東習 2次方程式 ax²-2(a-5)x+がのぼ01<x<2の範囲にそれぞれ
方程式
の範囲
●グラフが指定さ
2次関数のグラス
[1] 判別式
p.220 EX921
この3つの条件に
放物線y=f(2
であるとき,グ
件となる。
[1] 判別式
[2] 軸の位置
[3] 区間の
[1] と[2] を合
を意味する。 更
xpの範囲に
●グラフの条件
上の条件を
｢p<x<g の範
するかを考え
[1] の DC
[2]は、軸
[3] は、f(
となる例題
右の図のよう
のように変化
このように,
をかいて考え
