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例題 114 実数解のとり得る値の範囲
思考プロセス
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xについての2次方程式 x+2mx+4m²+2m=0m は実数) がある。
(1) x=1 がこの方程式の解となるような定数mの値を求めよ。
(2)x=2はこの方程式の解となり得ないことを示せ。
(3)この方程式の実数解のとり得る値の範囲を求めよ。
条件の言い換え
x2+2mx+4m²+2m = 0 が x = α を解にもつ(or もたない)
α+2ma+4m²+2m=0を満たす実数m が存在する (or しない)
⇒m についての方程式 4m² +2(a+1)m+α = 0 が実数解をもつ (or もたない)
(3)は,2次方程式が実数解をもつmの範囲を求める問題ではなく、
2次方程式が実数解をもつとき,その実数解αの範囲を求める問題である。
Action » 解のとり得る範囲は, 方程式の係数に含まれる文字の実数条件を考えよ
3
3章
解 (1) x=1 を方程式に代入すると
4m² +4m+1= 0
例題
84
(2m+1)=0 より
1
m = -
2
1
m = - のとき, 方程
2
(2) x=2を方程式に代入すると
式は x-x=0 となり,
2m² +3m+2=0
その解はx= 0, 1
例題
86
9
2次関数と2次不等式
mの方程式と考えて, 判別式をDとすると
D=32-4・2・2= -7 < 0
よって、この方程式を満たす実数は存在しない。
したがって, x=2はもとの方程式の解とはならない。
(3)この方程式の実数解をαとして, 代入すると
a2+2ma+4m² +2m = 0
mについて整理すると
4m² +2(a+1)m+α = 0
... ①
求めるものは,この方程式を満たす実数 m が存在するよ
うな実数αの条件である。 よって, mについての2次方
程式 ①の判別式をDとすると D≧0
どのような実数mであっ
てもこの方程式は成り立
たないから x=2はこ
の方程式の解ではないこ
とを示している。
解の公式により
x=-m±√-3m²2m
として、この範囲を求め
ることは難しい。
D
= (a + 1)² - 4a² =-3a²+2a+1
4
-3 + 2α +1≧0 より
3-2α-1≦ 0
1
(3a+1) (α-1)≦0 を解くと
≤a≤1
3
したがって,もとの方程式の実数解のとり得る値の範囲
は
自分で設定したではな
xの範囲で答える。
207
p.221 問題114
練習 114x についての2次方程式 -2mx-m²-4=0 (mは実数)がある。
(1)x=2がこの方程式の解となるような定数の値を求めよ。
(2)x = -1 はこの方程式の解となり得ないことを示せ。
(3)この方程式の実数解のとり得る値の範囲を求めよ。
