基礎問
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128 3項間の漸化式
a=2, az=4, an+2=-an+1+2an (n≧1) で表される数列{an²
がある.
(1) an+2-Qan+1= β(an+1- aan) をみたす 2 数α, βを求めよ.
(2) an を求めよ.
精講
an+2=pan+1+qan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 t=pt+g の解をα, βとして,次の2つの場合があり
ます.
(I) αキβ のとき
an+2=(a+β)an+1 - aban より
an+2aan+1=β(an+1-dan)
lan+2 - Ban+1=α(an+1-Ban)
①より、数列{an+1 - aan} は,初項 α2-Qa1, 公比βの等比数列を表すので、
...1'
an+1-aan=β”-1 (az-dai)
同様に,②より, an+1- -Ban=an-1 (a2-βa) .......②'
①②' より,
(B-α)an=β"-1 (a2-aaî)-α"-' (a2- Bar)
β”-1 (a2-aal)-an-1 (az-Bas)
B-a
:: An=
注実際には α=1 (またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α=β のとき
an+2-QQn+1=α(an+1-aan)
an+1-dan=an−1 (azaas) ③
つまり,数列{an+1- can}は,初項a2-aa,公比αの等比数列.
③ の両辺を α7+1 でわって, an+1
Q²+1
n≧2のとき、a+ ak
k+1
k=1\a
よって,
an
an
-=(n-1).az-aa1
a²
∴a=(n-1)α"-2a- (n-2) α7-11
a1
an
an
an
a
azaar
a²
a2day
a²
