要 例題 34
「少なくとも1つは･･･」の証明
00000
1 1
1
x
+ + =
y
2
1
x+y+z
であるとき, x+y, y+z, z+xのうち少なくとも
[香川]
基本 24
1つは0であることを証明せよ。
CHART & SOLUTION
証明の問題 結論からお迎えに行く
まず結論を示すには, どんな式が成り立てばよいかを考える。
x+y,y+z,z+xのうち少なくとも1つは0である。
⇔x+y=0 または y+z=0 または z+x=0
⇔ (x+y)(y+z) (z+x) = 0
*
よって,を証明すればよい。
一
1
XC
+
1
+
y
よって
12
1
の両辺に xyz (x+y+z) を掛けると
x+y+z
(x+y+z)(yz+zx+xy)=xyz
{x+(y+z)}{(y+z)x+yz}-xyz=0
(y+z)x2+(y+z)2x+yz(y+z)=0
xについての式
計算する。
ゆえに
(y+z){x2+(y+z)x+yz}=0
(y+z)(x+y)(x+z) = 0
y+z=0 または x+y=0 または x+z=0
したがって, x+y, y+z, z+xのうち少なくとも1つは 0
である。
INFORMATION
上の例題のように,結論から解決の方針を立てる考え方は大切で、証明の問題
ず, 有効な方法である。
以下には,代表的なものを紹介しておく。
① x, y, zの少なくとも2つは等しい
⇒(x-y)(y-z)(z-x)=0
x, y, zの少なくとも1つは1に等しい
⇔ (x-1)(y-1)(z-1)=0
③実数x, y, zのすべてが1に等しい
⇔
(x-1)2+(y-1)+(z-1)^=0
+
1
b
+
1
C
-=1であるとき, a, b, cのうち少なくとも1
PRACTICE
34°
a+b+c=1,
a
