-
![]()
208 第3章 図形と方程式
Think
例題 107 反転による軌跡
****
原点を端点とする半直線上の2点P(x, y), Q(X, Y) が OP・OQ=4 を
満たしている.
(1) x, y を X,Yで表せ.
(2)点Pが直線2x+y=1上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ.
[考え方 点Pは半直線OQ上にあるから, OP:OQ=t:1(t>0) とおける
my
3点 O P Q は, 0 t<1 のとき, 0.P.Qの順に,t>1の
とき 0 QPの順に並ぶ.
解答
また,OP=√x+y0Q=√X+Yであり,xy=0のとき
x と X,y と Yは同符号より OP:OQ=x: X=y: Y である.
Y
.8) A
メー
(1)点Pは半直線OQ上にあるから, OP:OQ=t: 1 (t>0) とおける.
OP=tOQ であり,OP=√xty, OQ=√X2+Y2 より,
OP:OQ=tOQ=t(X2+Y2)
OP・OQ=4 より t(X2+ Y2)=4
これより X2+Y20 であるから, t=
X2+12
xy=0 のとき,x と X, y と Yは同符号より,
OP: OQ=x: X=y: Y=t: 1 (t>0)
x
Xx
解
Comment
<反転と
定点
半直線
点Qを対
反転の中
〈円や直
(I) 反
(II) 反
(Ⅲ)
P
(IV)
円や
題である
がこの
した。
4X
したがって,x=tX より ① を代入して, x=
2
X2+Y2
同様にして,
4Y
y=ty=-
X2+Y2
......③
x=0 のとき, X=0 より ② に含まれ, y=0 のときも同様に③に含まれる。
(証明
010
を
4X
4Y
よって,
x=
X+y2, y=
X2+Y2 Xb
(2) 2x+y=1 に② ③ を代入すると,
2.
4XX 4Y
+
X2+Y2 X2+Y2
=1
○とか
8X +4Y = X2+Y2 より, (X-4)+(Y-2)=20
0=Y.
ただし,X+Y=0 より X=Y=0 を除く.
よって、点Qの軌跡は,
(0)M
0=8+X+-
【X' + Y' = 0 となるのは,
|X=Y=0 のとき
(9-0)0-+
練習
中心 (4, 2), 半径2√50円 ただし, 原点を除く.
注〉定点0を端点とする半直線上の2点P Q について, OP・OQ=k (kは定数k>0) の
関係で点 Q を点Pに対応させる(これを「反転」 とよぶ) と,円が直線に変換されたり,
直線が円に変換されるなど,これまでにない図形の対応関係が生まれる. (次ページ解
説を参照)封
原点を端点とする半直線上の2点P(x, y), Q(X, Y) が OP・OQ=1 を減
[107] たしている.
****(1)点Pが原点を通る直線 ax+by=0 上を動くとき,点Qの軌跡を求め。
(2)P (x+1)^2+(y-2)=5 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。
(3)点Pが原点を通らない円(x-a)+(y-b)=r上を動くとき,点Qの
跡を求めよ. ただし, r>0 とする。
反
は
