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例題 35 2次方程式の整数解
次の2次方程式が異なる2つの整数解をもつように、 定数αの値を定めよ。
(1) x²ax+α²-2a=0 (2) - ax-a+3=0
思考プロセス
(1) 候補を絞り込む 条件をゆるくして考える。
異なる2つの整数解 少なくとも異なる2つの実数解 判別式 D > 0 より
条件をゆるくして考えたから,解が実際に家になるか確かめる。
の範囲を絞り込む
(2) (1) のように, D> 0 からaの範囲が絞り込めない。
未知のものを文字でおく
整数解をα, β とおく
解と係数の関係
[a+B=a
laβ=-a+3
Action>> 2次方程式の整数解は, 判別式, 解と係数の関係を使え
解 (1) 2次方程式の判別式をDとすると
D=(-α)2-4(q²-2a) = -3a²+8a
方程式が異なる2つの実数解をもつから
α消去
これを解くと x =
いから、不適。
(イ) α = 2 のとき, 方程式は
3
よって, 3a (a-1/28) <0より 0<a<
ここで、この方程式の2つの整数解を α, β とすると, 解と
係数の関係により, α+β=α であるから,α も整数である。
ゆえに, ① より a=1,2
(ア) α=1のとき, 方程式は
1±√5
2
a+ß = a, aß = = a +³2?
方程式
式
D>0
18+) +場合である。)
αを消去して aß+a+k=3
よって
(+1)(+1)=4
α, βは整数より, α+1, β+1 も整数であり,
α + 1 < β+1 であるから
=0 JR SE
(a+1,β+1)=(-4,-1),(1,4
よって
(a, B)= (-5, -2), (0, 3)
したがって 求める α の値は a = -7, 3
友
整数解は実数解の特別な
x-x-1=0a+og
となり,整数解をもたな解の公式による
x2-2x=0a+⑤.①
よって, x=0, 2 となり、 異なる2つの整数解をもつ。
(ア), (イ) より 求めるαの値は a = 2
(2) 2次方程式の2つの整数解をα, β (α <β) とすると,
解と係数の関係により
2次方程式
ax2+bx+c=0の2つ
の解をα, βとすると
b
a'
|a+B== ₁ aß =
SOSIDH
実数解をもつ条件より
|D=(-a)²-4(-a+3) >0
a<-6, 2 <a
であるが、これを満たす整
数αは無数にあるため、
aの値は定まらない。
E)
40 <a=a+B
練習 35 次の2次方程式が異なる2つの整数解をもつように、 定数 α の値を定めよ。
(1) x- (a+3)x+α²-1 = 0
(2) x-2ax+α - 2 = 0
p.68 問題
