4
00000
重要 例題 164 三角形の面積の最小値
面積が1である△ABCの辺AB, BC, CA 上にそれぞれ点D, E, Fを
AD: DB=BE: EC=CF: FA=t: (1-t) (ただし, 0<t<1) となるようにと
る｡
(1) △ADF の面積をtを用いて表せ。
基本 158
(2) △DEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
指針 (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと
ANDA
△ABCと△ADF は∠Aを共有していることに注目。
AABC=
C=1212AB・ACsin A (=1), ADF=1/12AD
(2) △DEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) として求める。・・・・・・
Sはtの2次式となるから、基本形 a (tp)'gに直す
ただしtの変域に要注意!
$46-(03/
解答
(1) AD=tAB, AF=(1-t)AC
であるから
AADF=AD AF
2
-AD
よって
AABC=
AF sin A
=1/12t(1-t) AB・ACsin A
c=1/12/1 -AB・ACsinA=1
2) (1) と同様にして
よって
△ADF= =AD-AF sin A
Dante (bo+de)
コーナ
AADF=t(1-t). AB AC sin A
=t(1−t)
BtE
ゆえに, 0<t<1の範囲において, Sは
t=1のとき最小値
ADA
1-t
S=△ABC-(△ADF + BED+△CFE)
=1-3t(1-t)=3t2-3t+1=3t-
SUBAS
-t
t
= 3(t-1- ) ² + 1 (*)
4
2009-0
(8-2081) 805 00 AS
をとる。
$301
検討
一般に
AB'AC'
AAB'C' =
△ABC AB AC
A
B
(*) 3t²−3t+1=3(t²−t)+1
ABED=ACFE=t(1-t) (n==312-t+(1/2)}-3(1/2)+
SA S-31²-3t+1
4
B'
基
17
最小
C
M
指
