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△ABC の重心をGとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
AB2 + BC2+ CA2=3(AG2+BG2+CG2)
AB+A
A
G
B
[HINT 重心Gは3本の中線上にあるから,三角形の各頂点とGを結んだ線分の長さは,中線の長さ
の 1/1/23 倍である。
辺BC, CA, ABの中点を, それぞれ
L, M, N とする。
△ABCに中線定理を適用して
A
中線定理
△ABCの辺BC の中点
をMとすると
AB'+ AC2=2AL2+2BL2
①
\M AB2+AC2
=2(AM2+BM2)
(S)
BC2+BA2=2BM² + 2CM2
②
6.2
2.
CA'+CB2=2CN2+2AN2
③
B
L
C
点Gは重心であるから
59
3
AL=1212 AG, BM-22BG,CN=22CG
2
←AG:GL=2:1 など。
よって, ①+②+③ から
KAL2 (AB2+BC'+CA2)
=2(AL2+BM2+CN2)+2(BL2+CM+AN2 )
J