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2次関数の最小値と相加・相乗平均
絶対暗記問題 18
難易度
CHECK
CHECK 2
CHECK
| 2次関数y=f(x)=-ax2+bx+c (a≠0) は, 2点 (1-3), (5,13)
通る。 以下の問いに答えよ。
(1) b, ca を用いて表せ。
(2) 2次関数y=f(x)の頂点の座標をαで表せ。
(3) が正の値をとって変化するとき、頂点のy座標の最小値を求めよ。
ヒント! y=f(x) が2点 (1-3) (5,13) を通るので,f(1) = -3,f(5)=13
だね。(2)y=f(x) を標準形にする。 (3)相加・相乗平均の不等式を使う。
解答&解説
(1)y=f(x) = -ax2+bx+c は, 2点 (1,-3), (5,13) を通るので,
f(1)= - a+b+c = -3
f(5)=
・①
25a+5b+ c = 13 ...... 2
①-②より、24a-4b=-16,6a-b=-4 ∴b=6a+4. ③.(答)
③①に代入して, - a + 6a+4+c = -3 c-5a-7.④・・・(答)
2) (1)より,y=-ax2+(6a+4)x-5a-7
6a+4
3a+2
= ·ax'
x+
-5a-7+
(3a+2)^
a
a
a
22乗
9² + 12a+4
ax
3a+2
a
4a²+5a+4
+
a
3a+2
4²+5a+4
y=f(x)の頂点の座標は
a
a
4²+5a+4
このy座標を変形すると,
=4
a
4 ( a + 1) + 5
+5
a
で,a>0のとき, 1/20 よって,相加平均と相乗平均の不等式より,
1/2)+5=4
+5≥4.2√d +5=13
等号成立条件:q=-
a
=1 a = 1)
頂点のy座標の最小値は13である。
相乗平均の不等式: p>0,g>0のとき,p+g≧2vpg (等号成立条件: p=q)
