-
![]()
31
重要 例題110 2次不等式の解法 (4)
次の不等式を解け。ただし,aは定数とする。
(1) x²+(2-a)x-2a≤0
指針
まず, 左辺=0の2次方程式を解く。
文字係数になっても、2次不等式の解法の要領は同じ。
それには
1 因数分解の利用
は左辺を因数分解してみるとうまくいく。
2 解の公式利用
α<Bのとき (x-a)(x-B)>0x<a, B<x
(x-a)(x-β)<0⇔α<x<B
POD
(2) ax² sax から
[1] a>0のとき, ① から
0≤x≤1
α,βがαの式になるときは,αの大小関係で場合分けをして上の公式を使う。
(2)x2の係数に注意が必要。 a>0, a=0, a < 0 で場合分け。
CHART (x-a)(x-B) 0の解α, βの大小関係に注意
解答
(1) x2+ (2-a)x-2a≦0から (x+2)(x-a) ≤0 …..... ©>$$@4<s
[1] a<-2のとき, ① の解は a≦x≦-2
[2] α=-2のとき, ① は
(x+2)² ≤0
よって,解は
x=-2
[3] -2 <αのとき, ① の解は -2≦x≦a
以上から
a<-2のとき a≦x≦-2
a=-2のとき x=-2
2<αのとき -2≦x≦a
ax (x-1)≦0… ①
x(x-1) ≤0
よって解は
[2] a=0のとき, ①は
これはxがどんな値でも成り立つ。
すべての実数
よって解は
[3] α<0のとき, ①から
よって, 解は
以上から
(2) ax² ≤ax
0.x(x-1) ≤0
x(x-1)=0
x≦0, 1x
a>0のとき 0≦x≦1;
a=0のとき
α<0 のとき x ≦0, 1≦x
すべての実数;
[1]
a
191
-2
の2通りあるが,ここで
[2]
基本106
x
[3]
-2/a
① の両辺を正の数αで割る。
x
<0≤0 となる。 は 「くまたは=｣
の意味なので, <= のどちらか
一方が成り立てば正しい。
① の両辺を負の数αで割る。
負の数で割るから 不等号の向き
が変わる。
注意 (2) について, ax' Sax の両辺を axで割って, x≦1としたら誤り。 なぜなら, ax=0のと
きは両辺を割ることができないし, ax<0のときは不等号の向きが変わるからである。
177
3章
13
2次不等式
