gで2等分するとき, gの傾きを求めよ。
32
原点を通る直線と,曲線 y=x°-2x で囲まれた図形の面積が
である。
3
この直線の方程式を求めよ。
題49 放物線 y=x° と, 点 (1,2) を通る直線で囲まれた図形の面積Sを最
小にするような直線の方程式を求めよ。
直線の傾きをm として,面積を mの関数として表す。 面積の計算では
CB
1
-(x-a)(x-B)dx=-(B-a)° を利用する。
6
a
x軸に垂直な直線は適さないから,点(1, 2) を通る直線の方程式を y=m(x-1)+2
とする。
放物線とこの直線の交点のx座標は, 方程式
x?=m(x-1)+2
すなわち
x°-mx+m-2=0
の
の実数解である。方程式① の判別式をDとすると
D=(-m)°-4(m-2)=m'-4m+8=(m-2)?+4>0
よって,① は異なる2つの実数解をもつ。それらを α, B (α<B)とすると
1
S=(m(x-1)+2-x)dx=-"(x-a)(x-8)dx=;(B-a)°
s=m-2+4P
*B
6
m+VD
m-VD
=D であるから
{V(m-2)?+4}°
6
また,B-a=-
2.
2
よって, Sはm=2 のとき最小であり, 求める直線の方程式は
すなわち
ソ=2(x-1)+2
y=2x 答
ンのこ 強
