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基本例題 170 正四面体の高さと体積
1辺の長さがα である正四面体 ABCD において, 頂点AからABCDに垂線
AHを下ろす｡
(1) AHの長さんをα を用いて表せ。
(2) 正四面体 ABCD の体積Vをaを用いて表せ。
③点Hから△ABCに下ろした垂線の長さをaを用いて表せ。
解答
(1)直線 AH は平面 BCD 上のすべての直線と垂直であるから
AH⊥BH, AH⊥CH, AH⊥DH
ここで、 直角三角形ABHに注目すると AH=√AB2-BH?
よって まず BH を求める。
a
また,BH は正三角形 BCD の外接円の半径であるから,正弦定理を利用。
(2) (四面体の体積)=×(底面積)×(高さ)
=1/3×
( 3 ) △ABCを底面とする四面体 HABC の高さとして求める。
HABC, HACD, HABD の体積は等しいことも利用。
(1) AABH, AACH, AADH
はいずれも∠H=90°の直角三
角形であり
AB=AC=AD, AHは共通
であるから
a
sin 60°
BH=
よって
△ABHは直角三角形であるから,
三平方の定理により
AABH=AACH=AADH
よって
BH=CH=DH
ゆえに, H は ABCD の外接円の中心であり, BAは
△BCD の外接円の半径であるから, ABCD において,
正弦定理により
=2BH
asin012/10
÷
B
2sin 60°
(2) ABCDの面積をSとすると
S-a²sin 60¹-3²
√3
ん=AH=√AB2 BH²
a
= √ ² - ( ²3 )² = √²/² a ² = √5 a
2
6
3
よって、 正四面体 ABCD の体積Vは
√√3
V=
1=1/sh=1/31 √√3 √6 √2
.
02..
a=
4
3
12
[H]
A直角三角形において,
辺と他の1辺がそれぞれ
等しいならば互いに合同
である。
B
a
D
a H
√3
169
また、3つの四面体
<H は ABCD の外心。
(数学Aで詳しく学ぶ)
ABCDは正三角形であ
り 1辺の長さはα, 1つ
の内角は60° である。
(3) 3つの四面体 HABC, HACD, HABD の体積
いから,
(ABCDの面積)
=BC-BD sin CBD
(四面体 HABC の体積)×3
が成り立つ。
求める垂線の長さをxとすると
(四面体 HABC の体積 )
1/13△ABCx=1/13
なんで
599030600円入すると
a
√2
直角三角形の比
12
= (正四面体 ABCD の体積 )
=
また、(2) より,正四面体 ABCD の体積は
√√3
4
であるから
したがって
-a²x
-a³
12
a
BH=
√2
12
心の性質を用いた解法
正三角形において,その外接円の中心 (外心)と重心は一
検討 (1) の AHの長さは次のように求めることもできる。
なお、重心については,数学Aで詳しく学ぶが、ここでは
三角形の3つの中線は1点で交わり, その点は各中線
三角形の3つの中線の交点を, 三角形の重心という
辺CDの中点をM とすると, BM=BCsin60°= √√3
a
2
①
a³
/3
271 BM-23a-43a
a=
AH-√AB²-BH²-√²-(3a) --
=
tox th
例題170 において, 1辺の長さがαである正四面体の
√2
√6
3
12
高さはん=
-α,体積はV=Y -a³
であることを求めた。 これらは記憶しておくと役に立つか
については、上のような計算方法も知っておくとよいだろ
また、体積については、立方体に正四面体を埋め込む方法
いる(次ページを参照)。
170 において, 頂点Pから底面ABCに垂線PHを下ろ一
1辺の長さが3の正三角形ABCを底面とし, PA=
(1) PHの長さを求めよ。
(2) 四面体
(3) 点日から3点P, A, B を通る平面に下ろした言
