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2 重解をもつ条件
基本例題 63
3次方程式x3+(a-1)x2+(4-α)x-4=0が2重解をもつように,実数の
定数aの値を定めよ。
基本 61
CHART & SOLUTION
3次方程式の問題
人数分解して(1次式)×(2次式)へもち込む
x=1 を代入すると成り立つから、与えられた方程式は
(x-1)g(x)=0 g(x) は2次式] の形となる。
ここで,「2重解をもつ」のは次の2通りで、場合分けが必要。
[1] 2次方程式 g(x)=0が1でない重解をもつ。
[2]x=1 が2重解→g(x)=0の解の1つが1で,他の解は1でない。
解答
f(x)=x²+(a-1)x2+(4-α)x-4 とすると
f(1)=1+(a-1)・12+(4-α)・1-4=0
よって, f(x)はx-1 を因数にもつから
f(x)=(x-1)(x2+ax+4)
⑩ ゆえに, 方程式は
(x-1)(x2+ax+4)= 0
したがって
x-1=0 または x2+ax+4=0
この3次方程式が2重解をもつ条件は,次の [1] または [2]
が成り立つことである。
[1] x2+ax+4=0が1でない重解をもつ。
判別式をDとすると
D = 0 かつ 12+α・1+4=a+5 = 0
D=α²-16=(a+4) (a-4)
D=0 とすると α = ±4
これは α+5≠ 0 を満たす。
[2] x2+ax+4=0 の1つの解が1,他の解が1でない。
x=1 が解であるから 12+α・1+4=0
よって
a+5=0
ゆえに a=-5
このときx2-5x+4=0
よって
これを解いて
(x-1)(x-4)=0
NOHTS!
1 a
x=1,4 -+-
したがって、他の解が1でないから適する。
[1], [2] から 求める定数αの値は
a=±4, -5
1 a-1 4-a -4 1
4
a
15
4
0
別解 次数が最低の文字 α
について整理する方針で,
因数分解してもよい。
|x-x2+4x-4+α(x2-x)
=(x-1)(x2+4)+αx(x-1)
=(x-1)(x2+ax+4)
inf. 次のように考えても
よい｡
[2] x2+ax+4=0 の解が
1とβ (1) のとき, 解
と係数の関係から
1+β=-a, 1・β=4
β=4 は適する。
このとき α=-5
NO SODAN
2章
9
高次方程式
