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Rは自然数とする。 次の値が素数となるようなnをすべて求めよ。
| a, bを, a<b を満たす自然数とするとき, a+b=p, ab=qを満たす
402
重要例題108 素数の性質の利用
O00000
(2) ab=q と
atb=p に
n°-12n+27
p>q であり
よって
ノn+14n-32
p=3 は素巻
したがって、
素数p, qを求めよ。
p.388 基本事項
CHART OSOLUTION
積が素数となる条件
1素数pの正の約数は1とpのみ
2 偶数の素数は2だけ
(1) まずは、 与えられた式を因数分解して積の形にする。
a, bを整数,pを素数とするとき
0<aく6, ab=p ならば a=1, b=p
aく6<0, ab=p ならば a=ーp, b=-1 (大きい方が -1) ..
(ア) n°+14n-32=(n+16)(n-2) において, n+16>0 から n-2>0
→ n-2=1 (小さい方が1)
(イ) n-12n+27=(n-3)(n-9) において, n-3とn-9は, ともに正の場合
と,ともに負の場合がある。
(2) 積が素数(ab=q)の条件と aく6から, aとbが決まる。また, 偶数の素数
は2だけであるから, 2つの素数の和や差が奇数であるとき, 小さい方の素数
は2に決まる。
INFORMA
素数は無限
る方法が有
素である」
証明 n」 を
12
(小さい方が1)
この
この方法に
とても簡濃
例えば,と
例
ni=
2と
よ
解答
6
(1) (ア) N=n°+14n-32 とすると
N が素数となるとき, nは自然数であるから, n+16,
n-2はともに自然数であり
つ
N=(n+16)(n-2)
れ=
*N>0, n+16>0
42
から n-2>0
p0<n-2<n+16_
よって
n-2=1
n
ゆえに
n=3
1
セ小さい方が1
このとき, n+16=19 から N=19 となり, 適する。
よって, 求めるnの値は
(イ) N=n°-12n+27 とすると
[1]0n-3>n-9>0 すなわち n>9 のとき
Nが素数となるとき
全 19 は素数。
を
n=3
こ
N=(n-3)(n-9)
*n-3, n-9がともに
正の数なら小さい方が
ともに負の数なら大き
い方が-1
n-9=I
よって
n=10
このとき, n-3=7 から N=7 となり, 適する。
[2]Qn-9<n-3<0 すなわち 1<n<3 のとき
Nが素数となるとき
-7は素数。
は自然数だから nal
PRACT
n
n-3=-1
よって
n=2
このとき、 n-9=-7 から N=7 となり, 適する。
[1], [2] から, 求めるnの値は
1sn<3を満たす。
7は素数。
(ア)
n=2, 10
