基礎問
127 確率の最大
白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある. この袋の中から,
2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率
pm で表すことにする。 このとき, 次の問いに答えよ.ただし,
n≧l とする.
(1) pm を求めよ.
(2) pm を最大にする n を求めよ.
条件に文字定数nが入っていると,確率はnの値によって変化する
ので、最大値が存在する可能性があります. 確率の最大値の求め方
は一般に, 関数の最大値の求め方とは違う考え方をします. それは,
変数が自然数の値をとることと確率 ≧0であることが理由です.この考え方は,
パターンとして頭に入れておかなければなりません.
その考え方とは次のようなものです.いま、すべての自然数に対して p>0
のとき, ある自然数Nで,
精講
n≦N-1 のとき,
n≧N のとき,
が成りたてば,nで表されている確率は,
すなわち,
P+1>1
Pn
Pn+1 <1
pn
Þ₁<Þ₂<<ÞN> ÞN+1>·····
が成りたちます。 だから n=Nで最大とわかります。
Pn+1
と1の大小を比較すればよいのです.ここで,
pn
Pn+1>1 = Pn+1-Pn>0
pn
ですから,Pn+1-pn と0の大小を比較してもよいのですが、 確率の式という
のは,ふつう積の形をしていますので,わった方が式が簡単になるのです.