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基本例題 161 対数不等式の解法 (2)
不等式 10g2x-6logx2≧1 を解け。
CHART & SOLUTION
対数不等式
おき換え [logax=t] でtの不等式へ
真数の条件 底αと1の大小関係に注意
6
log2x
底の変換公式
6
log2x=t(tは任意の実数, ただしt±0) とおくと, t--21となり、両辺に
底を2にそろえると
log2x-
の2次不等式の問題に帰着できる。 ただし,t の符号によって不等号の向きが変わる
t> 0, t<0 で場合分けをする要領で解く。
解答
対数の真数, 底の条件から
1
また
logx2=-
log₂x
11
x>0 かつ x≠1
よって, 不等式は
log₂x log2x
[1] 10gx > 0 すなわち x>1 のとき
① の両辺に 10g2x を掛けて
よって
ゆえに
log2x+2>0 であるから
底2は1より大きいから
...
これは x>1 を満たす。
6> (C+x) of
1
......
・①
(log2x)²-log2x-6≥0
(log2x+2)(10g2x-3)≧0
(10g2x)-6≧log2x
log2x-30 すなわち 10g2x≧3
x ≥8
PRACTICE 161⁰
[2] log2x < 0 すなわち0<x<1のとき
① の両辺に10g2x を掛けて
よって
ゆえに
log2x-3 <0であるから
(log2x)²-6≤log₂ x
(log2x)²-log2x-6≤0
(log2x+2)(10g2x-3)≦0
log2x+20 すなわち 10g2x≧-2
-2≤log2x<0
よって
底2は1より大きいから x<1
これは 0<x<1 を満たす。
[1], [2] から x<1,8≦x
底を2にそろえる。
x≠1 から logar
>1のとき
logax>0
GHAI
t2-t-6
= (t+2)(t-3)
10g2x0から。
log2xlog28
α>1 のとき、
0<x<1ではlogan
←log2x<0 から。
PE
logaa
の
FEE
log: ≤log.x<l
底2
よっ
lo
す
E
センタージ
