正の約数の個数が28個である最小の正の整数を求めよ.
(早稲田大)
へ、
解答
28=2×2×7 であるから, 正の約数の個数が28個である整数 N を素因数分解すると、
(ア) N = d
(1) N=ab
() N=a'b'c'
(ただし,p, g, rは自然数である.また, a, b, c は相異なる素数である)
のいずれかの形で表される.
(ア) N=d” のとき,約数の個数は+1であるから,p+1=28より,p=27である.
このとき最小のNはa=2とした 227 である.
(イ)N= dba (p≦q) のとき, 約数の個数は,
(n+1) (g+1) であり、
(n+1)(g+1)=28
これより, 2≦p+1≦g+1に注意すると,
(p, q)=(1, 13), (3, 6)
abをできるだけ小さくするためには,
a≧b とすべきであり, a,bは相異なる
素数なので、 α=3, b=2としたものが
最小である
・(p,g)=(1,13) のとき, 最小のNは,N=31.213 である.
2
・(p,g)=(36)のとき,最小のNは, N=33.2°(=1728) である.
(ウ) N=abic (p≦a≦r) のとき,約数の個数は(n+1) (g+1)(+1) であり,
(n+1)(g+1)(r+1)=28
.. (p, q, r)=(1, 1, 6)
このとき,最小のNは,N=5'31.2=(960) である.
(ア)(イ),(ウ)より、約数の個数が28個である最小の正の整数は,960
