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例題 143 三角方程式の解の
の方程式 sin' acos0-2a-1=0 を満たすりがあるような定数。
[同志社大]
囲を求めよ。
1≦x≦で、与式は
①
よって、求める条件は、 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくともつをも
ことと同じである。次の CHART に従って、考えてみよう。
指針> まず, 1種類の三角関数で表す→cos0=xとおくと,
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0
① 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目･・･・・・・･・･!!
10 (6)
解答
HOE
cos0=xとおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0….. ①
この左辺をf(x) とすると、求める条件は, 方程式f(x)=0が
x²=a(x-2)
よって,放物線y=x と
-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について,次の [1] ま
たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。
y=a(x-2) の共有点のx座
標が-1≦x≦1の範囲にあ
I [1] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸と異なる2 る条件を考えてもよい。
p.139 を参照。
点で交わる, または接する。
[1]
YA
D≧0
このための条件は、 ①の判別式をDとすると
D=(-α)²-4・2a=a(a−8)であるから a(a-8)≥0
よって
a≦0,8≦a
軸x=/12/2について-1<<1から -2 <a<2…… ③③
1
3
f(-1)=1+3a> 0 から a>-
f(1)=1+α>0)
から
a>-1
②~⑤の共通範囲を求めて
<a≦0
-SAP
U
3
□ [2] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲でx軸とただ1点
で交わり、他の1点は x<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は
(-1)/(1)<0
ゆえに (3a+1)(a+1) < 0
1
3
[3] 放物線y=f(x)がx軸とx=-1またはx=1で交わる。
1
f(-1) = 0 またはf(1) = 0 から
a=- または α=-1
3
[1], [2], [3] を合わせて -1≤a≤0
参考
(4)
(5)
よって-1<a<
練習
(4)
4 143 囲を求めよ。
......
-
[2]と[3] をまとめて, f(-1)(1)≧0としてもよい。
検討
x2ax+2a=0をaについ
て整理すると
DI
[2]
20
|x=0))x₂
2
+
1
Voll
+
-1
1
NU
+
1
-1
100
10 の方程式 2cos20+2ksin0+k-5=0 を満たす0があるような定数kの値の
