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基礎問
9
168 第6章 微分法と積分法
108 面積 (IV)
を実数とする.
放物線y=x2-4x+4......①, 直線 y=mx-m+2......②
について,次の問いに答えよ.
(1)②はmの値にかかわらず定点を通る。この点を求めよ。
(2) ① ② は異なる2点で交わることを示せ.
(3) ①,②の交点のx座標を α, B(α<B) とするとき,①,②で開
まれた部分の面積Sをα, β で表せ.
(4)Sをmで表し,Sの最小値とそのときのmの値を求めよ。
精講
(1) 37 ですでに学んでいます。 「mの値にかかわらず」とくれば、
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます.
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します。
(3) 106ですでに学んでいますが,定積分の計算には101(2)を使います.
= − f* {(x²-(m+4)x+m+2}dx
a,Bは,2(m+4)x+m+2=0の2解だから
S=-
s---az-dz-(-a)
169
紙面の都合で途中の計算は省略してありますが、 101 (2)のようにき
ポー(mtl)+(n+2)=0」
ちんと書いてください.
(4)解と係数の関係より,α+B=m+4,aß=m+2
3葉でやってしまうと
. (B-α)²=(a+B)2-4aß= (m+4)2-4(m+2) ......(*)
=m²+4m+8
dBやなど制作数の関係って
表せなくなる。
S=
S=1/11(3-4)22-1/2(m²+4m+8)/2
=1/2(m+2)2+42 よりm=-2のとき最小値 13 をとる。
平方完成
1 = (B-α)
6
本来は音(Ba)でだが2来で計算してたから3になるように指数をとる。
さ
参考
(*)は, よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません。
ax2+bx+c=0 (a>0) 2解をα, B(α <B) とすると,
―このもわからない?
Q=
-b-√D
2a
B=-
-b+√√D
2a
・B-æ==b+√D
-b-√D
VD
2a
解 答
2a
a
(1) ② より m(x-1)-(y-2)=0
<mについて整理
これがmの値にかかわらず成立するとき
x-1=0,y-2=0
本間は α=1のときですから, (B-α)²=(√D)=D となるのは当然.
このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも
可能で,必ずしも, α+ β, αβ から求める必要はありません。
(4) 21 (解と係数の関係) を利用します。
よって, mの値にかかわらず②が通る点は,(1,2)
第6章
(2) ①,②より,yを消去して
r2-4x+4=mx-m+2 :.
判別式をDとすると,
D=(m+4)2-4(m+2)
=m²+4m+8
2-(m+4)x+m+2=0
必要なのか?
2章+220(平成
<D>0 を示せばよい
y
=(m+2)²+4>0
2この作業がなぜ
よって, ①と②は異なる2点で交わる.
(3) 右図の色の部分がSを表すので
S=
s="(mr-m
{(mx-m+2)-(2-4.x+4)}dx
O a 1
2 BI
ポイント
演習問題 108
f(x-a)(x-3)dx=-(-a)³
y=4-x2 ...... ①, y=ax (a は実数) ・・・・・・② について,次の
ものを求めよ.
(1) ①,② のグラフが異なる2点で交わるようなαの値の範囲
(2)①,②のグラフで囲まれた部分の面積がとなるようなαの値
