基本 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき、途中で地点Pを通る確率を求めよ。
ただし,各交差点で、東に行くか、 北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率でその方向に行くも A
P
B
北4
基本 52 重要 55
のとする。
指針 求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
から,
5C2X2C2
7C3
とするのは誤り!
これは、どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本間は道順によって確率
が異なる。
例えば, A1PBの確率は
C D P
B
111
・・1. -
222
A-1→1P-Bの確率は
11111
1
・1・1-
222 22
32
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
右の図のように、 地点 C, D, C', D', P' をとる。
解答 P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
[1] 道順 A→C→C→P
C'
?
C
D
P
B
D'
P
この確率は1/2×1/2×1/2×1×1-(1/2)2-12/3
A
この確率は
この確率は
1
よって, 求める確率は
+
8
316
[2] 道順A→D→D→P
3
[1]
11/16 11111と進む。
1/2)(1/2)×12×1=3(121)
C
[3] 道順A→P→P
(12/2)x12/23-6/12/12-3/2
C(1/2)
6
+
32
==
16
32
=
1
[2] 〇〇
と進む。
○には, 1個と 12個が
入る。
[3] 〇〇〇〇 と進む。
○には, 2個と 12個が
2
入る。
