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漸化式典型的なタイプに帰着
-+1によって定義される数列{a} を考える. ここでbn=
(ア)条件 α=2, an+1=
an-l
3+an
とおくとき,bn+1 を by を用いて表せ.また,{a} の一般項を求めよ.
an-1
(東京経済大)
(イ) 数列{a} を a=1, a2=2, a,+2-24n+1+an=2(n=1,2,3, …)によって定める.
bn=an+1-an とおくとき, by をnの式で表せ。 また, annの式で表せ。
(工学院大 )
an+1=pan+α 型 an+1=pan+g(p, q は定数で, 0, 1) ...... ① に対して,a=pa+g...... ②
を満たすように定数αを定め、 ①②よりan+1-α=p(an-α) これより{a-α}が公比』の等比数
列であることを用いて解く.
n-1
an+1-an=f(n) 型 階差が分かっている数列の一般項は, 階差を足し上げて求める. n≧2のとき
an=a1+(az-a)+(as-a2)+..+(an-an-1)=f(1)+(2)+f(n-1)=a+f(k)
上式はn≧2のとき通用する式で, n=1のとき成り立つか否かは確認が必要. 問題によっては,
an-an-1=g(n)が分かっている場合もあり、 公式を丸暗記して適用するとミスしやすい. 上式のシグ
マ記号の上下の数 (初めと終わり) は, そのつど具体的に確認しよう.
解答
+
an-l
(ア) an+1=
1
+1 ①
3+an
bn=
an-1
(
(1日)=1+(
1
bn+1=
==
an+1-1
1
an-1
3+an
(an-1)+4
-=1+
an-1
an-1
4
an-1
=46+1 分数式は分子を低次に.
3+an
:.bn+1=46+1 ...
......③
1
:.bn+1+ =4b₂+
<>a=4a+1
1
②より, a1=2のとき, b1=1.
を満たすαは
3
{{+*}
は公比4の等比数列であり,bn+1/2=4"-1 (01+1/2)
An
③④より求める.
b1+-
3
4"-1
bn=
=
②より, an
3
1
bn
+1=
3
4"-1
3
4"+2
3
+1=
>± 9. an-1=1
4"-1
(イ) an+2-2an+1+an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=bn+1-b" が2なので,
bnti
bn+1-bn=2. また, b1=42-41=1
Pn
よって,{bm}は初項 1, 公差2の等差数列で, b=1+2(n-1)=2n-1
2のとき、作品もん
an=a1+(az-a)+(a3a2)+…+ ( an-an-1)
=a+b1+b2+... +bn-1
=a+
b1+bn-1.
2
1+{2(n-1)-1}
(n-1)=1+
2
よって、求める式は,,=1+(n-1)²=n-2n+2 (n=1,2,3, ...)
(n-1) (n=1でもOK) {6} は等差数列. その和は,
(項数)
(初項) + (末項)
2
